ELENA Aplicaciones

elENA X - EMALCA 2025

Homologia Persistente y Aplicaciones

XIMENA FERNANDEZ

City University of London

Los datos suelen tener topologias no triviales

APLICACIONES

DONUT

Aplicacion 1:

Series Temporales

Sistemas dinámicos

Un sistema dinámico continuo es $(X, \phi)$, con $X$ un espacio topológico y $\phi_t \colon X \to X$ una familia suave de funciones de evolución para $t \in \mathbb{R}$.

Un conjunto $A \subset X$ es un atractor si es un estado asintótico del sistema. Concretamente, dado $( M, \phi)$ un sistema dinámico y $x_0\in M$, \[ A_{x_0} = \{x\in M: \exists t_i\to \infty \text{ tal que } \phi_{t_i}(x_0)\to x\}. \]

Ejemplo: Lorenz attractor \[\begin{cases} \dot x = \sigma ( y - x ) , \\ \dot y = x(\rho-z)-y ,\\ \dot z = xy-\beta z \end{cases} \] con $(\sigma, \rho, \beta) = (10, 28, 8/3)$.

Series temporales

Señal $\varphi:\mathbb R \to \mathbb{R}$

Suponemos que $\varphi$ es una observación de un sistema dinámico subyacente $( M, \phi)$.

Es decir, existen una función de observación $F: M \to \mathbb R$ y un estado inicial $x_0 \in M$ tales que \[\begin{align*} \varphi = \varphi_{x_0}:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}, \\ t &\mapsto F(\phi_t(x_0)) \end{align*} \]

Dato: Es posible reconstruir topológicamente el atractor a partir de la observación.

Series temporales 🤝 Sistemas Dinamicos

Señal $\varphi:\mathbb R \to \mathbb{R}$
Delay embedding: Dado $T$ el time delay y $D$ la dimensión del embedding: \[ {M}_{T,D} = \{\big(\varphi(t), \varphi(t+T), \varphi(t+2 T), \dots, \varphi(t+(D-1)T)\big): t\in \mathbb R\}\subseteq \mathbb{R}^D \]

Series temporales 🤝 Sistemas Dinamicos

Señal $\varphi:\mathbb R \to \mathbb{R}$
Delay embedding: Dado $T$ el time delay y $D$ la dimensión del embedding: \[ {M}_{T,D} = \{\big(\varphi(t), \varphi(t+T), \varphi(t+2 T), \dots, \varphi(t+(D-1)T)\big): t\in \mathbb R\}\subseteq \mathbb{R}^D \]

Series temporales 🤝 Sistemas Dinamicos

Señal $\varphi:\mathbb R \to \mathbb{R}$
Delay embedding: Dado $T$ el time delay y $D$ la dimensión del embedding: \[ {M}_{T,D} = \{\big(\varphi(t), \varphi(t+T), \varphi(t+2 T), \dots, \varphi(t+(D-1)T)\big): t\in \mathbb R\}\subseteq \mathbb{R}^D \]
Atractor: dado $( M, \phi)$ un sistema dinámico y $x_0\in M$, \[ A_{x_0} = \{x\in M: \exists t_i\to \infty \text{ tal que } \phi_{t_i}(x_0)\to x\}. \]

Series temporales 🤝 Sistemas Dinamicos

Señal $\varphi:\mathbb R \to \mathbb{R}$
Delay embedding: Dado $T$ el time delay y $D$ la dimensión del embedding: \[ {M}_{T,D} = \{\big(\varphi(t), \varphi(t+T), \varphi(t+2 T), \dots, \varphi(t+(D-1)T)\big): t\in \mathbb R\}\subseteq \mathbb{R}^D \]
Atractor: dado $( M, \phi)$ un sistema dinámico y $x_0\in M$, \[ A_{x_0} = \{x\in M: \exists t_i\to \infty \text{ tal que } \phi_{t_i}(x_0)\to x\}. \]
Teorema (Takens).* Sea $ {M}$ una variedad Riemanniana suave, compacta. Sea $T>0$ un número real y sea $D > 2\mathrm{dim}( {M})\in \mathbb{Z}$. Entonces, para $\phi \in C^2(\mathbb{R} \times {M}, {M})$, $F \in C^2( {M}, \mathbb{R})$ y $x_0 \in M$ genéricos, si $\varphi_{x_0} = F(\phi_\bullet(x_0))$ es una observación de $( M, \phi)$, entonces $ A_{x_0}$ es 'difeomorfo'$^{**}$ a $ {M}_{T,D} (\varphi_{x_0})$.

** Existe $\psi: M\to \mathbb R^{D}$ un embedding tal que $\psi|_{ A_{x_0}}: A_{x_0}\to {M}_{T,D} (\varphi_{x_0})$ es una biyección.
*Corolario 5, Detecting strange attractors in tubulence, F. Takens, 1971.

Series temporales 🤝 Sistemas Dinamicos

Observacion

Delay Embedding

Series temporales 🤝 Sistemas Dinamicos

Observacion

Delay Embedding

Diagrama de persistencia

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